广东海洋大学第二学期高数试题与答案

密 广东海洋大学 2014—2015学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程号：

学号：考试 □ 考查

A卷 □ B卷

闭卷 □ 开卷 100 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 24 14 28 28 6 实得分数 封 一 . 填空（3×8=24分）

1. 设a1,2,1，bx,1,0，ab，则x 2. 设a2,0,1，b0,1,0，则ab 3. 曲面z2x2y2在点(1,1,2)处的切平面方程为 4. 将xoz平面上的曲线x2试题共 5 页 加白纸 3 线 z24张 1绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的方

程为

5. 函数zln(3x2y2)的驻点为

ds 6.设L为连接(1,0)到点(0,1)的直线段，则L(yx)7.幂级数xn3n的收敛半径为

n18.微分方程ye3x的通解为y 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设zyln(x2y2)，求dz.

2.设函数zf(x,y)是由方程z33yzxa3所确定的具有连续偏

z2z导数的函数，求,2.

xx三 .计算下列积分（7×4=28分） 1.

22yx，其中是由, 及x1所围成的闭区y0(yx)dxdyDD域。

2.证明曲线积分(0.0)(2xyy2)dx(x22xy)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。

3. 计算(1x)dydz(2y)dzdx(3z)dxdy,其中是球面

(1,1)x2y2z29的外侧。

4.计算D11x2y22xy25围成的闭区域。 ，其中是由dxdyD2四 .计算题（7×4=28分） 1. 判别级数 (1)nn112n2 是否收敛? 若收敛，是绝对收敛还是条

件收敛? 2. 将函数f(x)3. 求微分方程

1 展开为x的幂级数。 x3dy2y6满足初始条件ydxx02的特解。

4.求微分方程yyex的通解。 五.证明 0dy0f(x)dxy0(x)f(x)dx（6分）

2014-2015学年第二学期

《高等数学》A卷（参考答案及评分标准 课程号：×2

一、 填空（3×8=24分）

1. 2；

1,0,2 ； 2. 3. xy4. 4.x5.(0,0)； 6.2； 7.3；

22z0；

y2z241；

18. e3xc1xc2

9二、 计算题（14分）

z2y2z2xy22ln(xy)221. ,,(4分)

xxy2xy2y2xy2y222dz2dx[ln(xy)2]dy (3分) 22xyxy2. 令F(x,y,z)z33yzxa3 （1分），得Fx1,Fz3z23y，

则

Fz1， （4分） x2xFz3z3y6zz2z6zx则2. (2分) x(3z23y)2(3z23y)3三．计算下列积分（7×4=28分）

4分1. 原式10dxx201(yx)dy(y2x2y)02213分x20dx141(x)dx 02101 2. 设P(x,y)2xyy2,Q(x,y)x22xy，有 所以曲线积分与路径无关。（4分） 原式=(12y)dy0 （3分）

01PQ2x2y， yx3.设V表示围成的闭区域并表示它的体积 ，由高斯公式有

3分(1x)(2y)(3z))dv原式(4分(3)dv108

VxyzV4分 4. 原式213分0d51r2rdr212202ln(1r)0ln26 四．1. 令u1nu2n2 ，则nun`1，且limnun0，所以级数

 (1)n1收敛。（3分）

n12n21 又

lim2n211n11，而级数

n发散，所以级数发散。（n1n12n2n 因此级数

(1)n1条件收敛。（1分）

n12n22. 因为

11xxn,1x1， （4分）

n0所以f(x)11xnxnx313(1x3()n033n1,

n03)3x3. （ 3分）

3 . 设

P(x)2,Q(x)6，

则

yeP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdxC] （3分）

=e2dx[6e2dxdxC]

=e2x[3e2xC] （2分）

代入初始条件得C1， 所以特解为y3e2x. （2分）

4. 特征方程为r2r0，特征根为r10,r21

所以对应的齐次方程的通解为yc1c2ex . （4分）

3分）

班级： 姓名密： 学 号 ： 封 试 题 共 线 5 页 加白纸 3 张 设yaex是yyex的特解，则 a12 所以原方程的通解为ycx11c2e2ex （3分） 五．积分区D域为：0y,0xy，更换积分次序有

y0dyf(x)dx00dxxf(x)dy（6分）0(x)f(x)dx

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程

A卷

闭卷 号：

考试□ 考查 □ B卷 □ 开卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 100 实得分数 一 . 填空（3×7=21分）

1.设,ar1,0,1,br0,1,1，则ab

2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 3.过1,0,1与平面x2yz1平行的平面方程为 4.函数zx2y22x的驻点为

5.幂级数nxnn的收敛半径为

i166.曲线zx22y2,xz0在xoy面上的投影曲线的方程为 7.微分方程yy满足y(0)2的特解为 二 .计算题（7×2=14分） 1.设zsinxy，求dz.

班级： 姓名密： 2.设zf(x,y)是由方程ezxyz0所确定的具有连续偏导数的函数，求

zx,zy. 三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.xyd，其中D是由x轴y轴以及直线2xy2所围成的闭区

D域。

2.证明曲线积分(2,1)(0,0)(x2y)dx(2xy)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。

3. 计算Ò6xdydzydzdx3zdxdy,其中是某边长为2的正方体的整个

边界曲面的外侧。

4.计算22Dexyd，其中D是由x2y24围成的闭区域。 四 .计算题（8×4=32分） 1.判别级数 n2n1en 是否收敛。 2.将函数f(x)e3x 展开为x的幂级数。 3. 求微分方程yy2x的通解。 4.求微分方程y5y6y6的通解。 五.证明 y0dy0exsinxdx0xexsinxdx（5分）

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广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》试题参考答案和评分标准

课程

考试

A卷

闭卷 号：

□ 考查 □ B卷 □ 开卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 实得分数 100 一 . 填空（3×7=21分）

rr1.设,a1,0,1,b0,1,1，则ab 1,1,1

2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为 x1,yz 3.过1,0,1与平面x2yz1平行的平面方程为 x2y3z2 4.函数zx2y22x的驻点为 1,0 5.幂级数x的收敛半径为 1

n1n6n6.曲线zx22y2,xz0在xoy面上的投影线方程为 x2x2y0,z0 7.微分方程yy满足y02 的特解为 y2ex 二 .计算题（7×2=14分） 1.设zsin，求dz.

2.设zf(x,y)是由方程ezxyz0所确定的具有连续偏导数的函数，求

zz,. xyxy两边对x求导， （1）

ezzzz11y0,z （3） xxxeyzzzzzy0，z （3） yyyey两边对y求导，ez三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.xyd，其中D是由x轴y轴以及直线2xy2所围成的闭区

D域。

解：区域D可表示为10y22x0x122x （2）

(xy)ddxD00(xy)dy （3）

= （2）

2.证明曲线积分(0,0)(x2y)dx(2xy)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。

解：设Px2y,Q2xy, 则

QP2 （2） xy(2,1)13所以曲线积分与路径无关 （2） 原式=0xdx0(4y)dy=

2113 （3） 2 3. 计算Ò6xdydzydzdx3zdxdy,其中是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。

解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式=V((6x)y(3z))dv (3) xyz =V10dv (1) =10V (2) =10g23= 80 (1)

4.计算Dexyd，其中D是由x2y24围成的闭区域。 解：区域D在极坐标下可表示为02,0r2， （2） 原=0d0errdr （3） = e41 （2） 四 .计算题（8×4=32分）

222221.判别级数 n1n2 是否收敛。 nen1 解：limn

3en1n2en1 （4） e所以级数收敛 （4）

2.将函数f(x)e3x 展开为x的幂级数。

xn解：e （4）

n0n!x3nxn，x （4） f(x)en0n!3x3. 求微分方程yy2x的通解。

解：yy0的通解为ycex， （2） 设原方程的通解为yc(x)ex，代入方程得 c(x)2xex，得c(x)2x1exc （4）

原方程的通解为

y2x2cex （2） 4.求微分方程y5y6y6的通解。

解：特征方程为2560，特征根为 12,23 （2）

对应的齐次方程的通解为yc1e2xc2e3x （2）

y1是方程的一个特解， （2）

原方程的通解为y1c1e2xc2e3x （2） 五.证明0dy0eyxsinxdxxexsinxdx（5分）

0班级： 姓名密： 学 号 ： 封 试 题 共 线 6 页 加白纸 3 张 证明：设区域D为0xy0y 则

exsinxddyyexsinxdx （2） D00 区域D可表示为xy0x

exsinxdsinxdx

Ddxex0xsinxdy=xex0广东海洋大学 2012—2013学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题

课程

考试

A卷

闭卷 号：

□ 考查 □ B卷 □ 开卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 100 实得分数 一 . 填空（3×7=21分）

1.设,ar0,1,2,br2,0,k，若arbr=2 ，则ab

2.过点1,0,1且与平面2x3yz2 平行的平面方程为

3.设曲线L:x4cost,y4sint,(0t2)，则Ñ223L(xy)ds=

4.函数zlnx2y2的驻点为

5.幂级数

xn的收敛域为 n13n6.曲线zx2y2,yz1 在xoy面上的投影线方程为 7.微分方程ysin2x满足y01 的特解为 二 .计算题（7×2=14分） x1.设zey，求dz.

班级： 姓名密： 2.设zf(x,y)是由方程e2z2xyz0所确定的具有连续偏导数的函数，求

zx,zy. 三 .计算下列积分（7×4=28分） 1.

2x3yd，其中D是由两坐标轴以及

xy2所围成的闭区域。

D2. 设曲线积分(2,1)(0,0)(2xky)dx(x3y)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。

3. 计算Òxdydz2ydzdx4zdxdy,其中是圆锥体zx2y2,0z1的整个表面的外侧。

4.计算D1x2y2d，其中D是由x2y21围成的闭区域。 四 .计算题（8×4=32分） 1.判别级数 n33n 是否收敛。 n12.将函数f(x)xcos2x 展开为x的幂级数。 3. 求微分方程yyx的通解。 4.求微分方程y3y2y2的通解。 五. 设级数u2an1n收敛，证明级数发散。 n1n1n（5分）

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案和评分标准

课程

考试

A卷

闭卷 号：

□ 考查 □ B卷 □ 开卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 100 实得分数 一 . 填空（3×7=21分）

rr1.设,a1,0,1,b1,2,0，则ab= 1 ，ab2,1,2

2.过点1,1,1且垂直于直线

2(x1)(y1)2(z1)0

x2y1z的平面方程为 2123.设曲线L:x3cost,y3sint,(0t2)，则L(x2y2)ds=54 4.改变积分次序1dx1f(x,y)dy=0dy0f(x,y)dx

0x5.幂级数x的收敛半径为 1

n1n1y2n6.函数zsin(xy)在点(0,0)处的梯度为1,1 7.微分方程ycos3x的通解为yycos3xc1xc2 二 .计算题（7×2=14分） 1.设zln(1x2y2)，求dz. 解：

z2xz2y, （2） （2） x1x2y2y1x2y2zzdxdy （2） xy2x2ydxdy （1）

1x2y21x2y219 dz =

2.设zf(x,y)是由方程z3xz2yez1所确定的具有连续偏导数的函数，求

zz,. xy解：在方程两边对x求偏导数， （1）

3z2zzzz22xzyez0 （2） xxxzz2得，2 （1）

x3z2xzyez在方程两边对y求偏导数，

3z2zzz2xzezyez0 （2） yyyzez得，2 （1）

y3z2xzyez三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.xyd，其中D是由直线y0,x0以及xy1所围成的闭区域。

D解：区域D可表示为0y1x,0x1， （1）

xyddxD011x0xydy （3）

=0x(1x)2dx （2） =

1 （1） 24（1，）21122.设曲线积分（x+ky)dx(xy)dy在整个xoy平面内与路径无关，求（0，）0常数k，并计算积分值。 解：设Pxky,Qxy, 则

QP （2） xyQP1,k，所以k1 （2） xy12 3. 计算2xdydzydzdx3zdxdy,其中是球面x2y2z21的外侧。

原式=0xdx0(1y)dy= （3）

12解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式

原式=V((2x)y(3z))dv (3) xyz =V6dv (1) =6V (2) =6gg13=8 (1)

4. cos(x2y2)d，其中D是由x2y24围成的闭区域。

D43解：区域D在极坐标下可表示为02,0r2， （2） 原=0d0cosr2grdr （3） =02221sin4d （1） 2 =sin4 （1） 四 .计算题（8×4=32分） 判别级数 n1（1)n2n1 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收

敛。 解：n1（1)n2n11=n112n1发散， （2）

12n10， （3）

2n1单调减少，limn（1)n2n1所以n1收敛，并且是条件收敛。 （3）

2.将函数f(x)xe2x 展开为x的幂级数。

xn解：e （4）

n0n!x(2x)ne （2）

n!n02x班级： 姓名密 n1f(x)xe2x2xn，x n0n!（2）

3. 求微分方程y2y3x的通解。

解：y2y0的通解为yce2x， （2） 设原方程的通解为yc(x)e2x，代入方程得 c(x)3xe2x，得c(x)3xe2x324e2xc （4） 原方程的通解为

y3x324ce2x （2） 4.求微分方程y2y3y1的通解。

解：特征方程为2230，特征根为 13,21 （2）对应的齐次方程的通解为yc3x1ecx2e （2）y13是方程的一个特解， （2）原方程的通解为y13c3x1ec2ex （2）五. 设级数u2

n收敛，证明级数(u1n)2也收敛。 （5分）

n1

n1n 证： 2unnu21nn2 2 12un121unnun2nn22(unn2) （2） 而

u2

1n收敛，也收敛。 （1）n1

n1n2 由比较判别法知，原级数收敛。 （2）广东海洋大学 2011—2012学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》试题答案和评分标准

课

程

考试 □ A卷

闭卷

号： □ 考查 B卷 □ 开卷 100 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 实得分数 一、填空（3×7=21分）

rr1.设a{1,2,0},b{1,1,1}，则ab ，ab

2.过点(1,0,1)且与平面xyz10垂直的直线方程为

2223.设曲线L:xcost,ysint(0t2)，则Ñ(xy)ds= L4.改变积分次序0dx0f(x,y)dy=

5.函数yx(x)的傅立叶级数在x=处收敛于 6.函数zx2y2在点(1,1)处的梯度为 7.微分方程ysin5x通解为y 二 .计算题（7×2=14分） 1.设z2x，求dz. xy21x22.设zf(x,y)是由方程zxyez10所确定的具有连续偏导数的函数，求

zz,. xy三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.(xy)d，其中D是由直线y0,yx以及x1所围成的闭区域。

D2.sin(x2y2)d，其中D是由x2y21围成的闭区域。

D3.设曲线积分(0,0)(xy)dx(kxy)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。

(1,1) 4.计算Òxdydz2ydzdxzdxdy,其中是区域0x1,0y1,0z1的整

个表面的外侧。 四 .计算题（8×4=32分）

（1)n1.判别级数  是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收

3nn1敛。

2.将函数f(x)x2e3x 展开为x的幂级数。 3. 求微分方程yy3x的通解。 4.求微分方程yy2yx的通解。

五. 设级数un收敛，证明级数(un)2也收敛。 （5分）

2

n1

n12n试题答案和评分标准

一、填空（3×7=21分）

rr1.设a{1,2,0},b{1,1,1}，则ab -1 ，ab{2,1,3}

2.过点(1,0,1)且与平面xyz10垂直的直线方程为

x1yz1 1112223.设曲线L:xcost,ysint(0t2)，则ÑL(xy)ds=2

4.改变积分次序0dx0f(x,y)dy=0dyyf(x,y)dx

5.函数yx(x)的傅立叶级数在x=处收敛于 0 6.函数zx2y2在点(1,1)处的梯度为{2,2} 7.微分方程ysin5x通解为y二 .计算题（7×2=14分）

1sin5xc1xc2 251x2111.设z2x，求dz. xy2z4xyz2y2解： （2） （2） ,y(xy2)2x(xy2)2dzzzdxdy （2） xy2y24xy =dxdy （1）

(xy2)2(xy2)22.设zf(x,y)是由方程zxyez10所确定的具有连续偏导数的函数，求

zz,. xy解： 在方程两边对x求偏导数， （1）

zzyezxyez0 （2） xxzyez得， （1） zx1xye在方程两边对y求偏导数，

zzxezxyez0 （2） yyzxez得， （1）

y1xyez三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.(xy)d，其中D是由直线y0,yx以及x1所围成的闭区域。

D解：区域D可表示为0yx,0x1， （1）

xyddxD01x0(xy)dy （3）

=0x2dx （2）

132= （1）

2.sin(x2y2)d，其中D是由x2y21围成的闭区域。

D12解：区域D在极坐标下可表示为02,0r1， （2） 原=0d0sinr2rdr （3） =0(cos1)d （1） =(1cos1) （1） 3.设曲线积分(0,0)(xy)dx(kxy)dy在整个xoy平面内与路径无关，求常数k，并计算积分值。 解：设Pxy,Qkxy, 则

QP （2） xy(1,1)2211212QPk,1，所以k1 （2） xy原式=0xdx0(1y)dy=1 （3）

4. 计算Òxdydz2ydzdxzdxdy,其中是区域0x1,0y1,0z1的

11整个表面的外侧。

解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式=V(x(2y)z)dv (3) xyz =V4dv (1) =4V (2) =4 （1） 四 .计算题（8×4=32分）

（1)n1.判别级数  是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件收

3nn1敛。



1（1)n解：=发散， （2）

n13nn13n13n单调减少，lim1n3n0， 所以（1)n收敛，并且是条件收敛。 （n13n3）

2.将函数f(x)x2e3x 展开为x的幂级数。

解：exxn! （4）

n0ne3x(3x)n n0n!（2） f(x)x2e3x3nxn2 ， xn0n! 3. 求微分方程yy3x的通解。

解：yy0的通解为ycex， 设原方程的通解为yc(x)ex，代入方程得 c(x)3xex，得c(x)3xex3exc 原方程的通解为

y3x3cex 4.求微分方程yy2yx的通解。

解：特征方程为220，特征根为 12,21对应的齐次方程的通解为yc1e2xcx2e 是原方程的一个特解 （3） （2）

（2） （4） （2） （2）

（2） （2）

班级： 姓名密： 学 号 ： 封 试 题 共 线 6 页 加白纸 2 张 原方程的通解为y1x124c1e2xc2ex （2） 五. 设级数u2

22n收敛，证明级数(unn)也收敛。 （5分）

n1

n1证： 2u22nun4nn2 2 u224un44nnunnn22(u2nn2) （2） 而u2n收敛，4也收敛。 （1） n1n1n2 由比较判别法知，原级数收敛。 （2）

广东海洋大学 2010—2011学年第 二 学期

《 高 等 数 学 I 》课程试题

课程考试

A卷

闭卷 号：

□ 考查 □ B卷 □ 开卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 40 39 100 实得分数 一 . 填空（3×7=21分）

1.已知ar={1,2,3}, br={-2，1，4｝，则arbr= 12 。 2.过点A（1，2，3）和点B（-2，1，-4）的直线方程为 x1y21z337（ 因为 uuBAuv={ 3, 1, 7 } ） 3.多元函数在P0处有偏导数是该函数在P0处可微连续的 必要 条件。

4.2nxn的收敛半径为1/2，收敛区间为(-1111n1n2,2)，收敛域为 [-2,2)

5.已知f1(x)和f2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的解，且f1(x)/f2(x)常数，则方程的通解为 。

6.曲面x2y2z21在点（0，0，1）处的切平面方程为 z=-1 。 （解：设F=x2y2z21Fx2x0Fy2y0xyFz2z2 ）

7.P(x,y)dxQ(x,y)dy是全微分的充要条件是QP。 二 .微积分计算题（5×8=40分） 1.f(x,y,z)xyyzzx，求

fx ，fy，fz

xyuvuv,求,. 2.已知xyxyuv83.已知函数uf(x,y,xy)，f具有一阶连续偏导数，求du。

4.计算 ycos(xy)dxxcos(xy)dy ，其中C是点（0，0）到点（3，4）的

c一条有向曲线。

5.计算Òzdxdyxdydzydzdx ，其中是空间体

{(x,y,z)|0x1,0y1,0z1}的整个表面的内侧。

三 .解下列各题（39分）

131213121. 研究函数f(x,y)xx6xyy 的极值（10分

3232令2fx(x,y)xx60解:,得驻点(3,0),(3,1),(2,0),(2,1)令fy(x,y)y2y0fxx(x,y)2x1Afxy(x,y)0Bf(x,y)2y1Cyy(1)(2)(3)(4)27在点(3,0)处,AC-B50,A50,故f极小2在点(3,1)处,AC-B250,点(3,1)不是极值点2

在点(2,0)处,AC-B250,点(2,0)不是极值点152在点(2,1)处,AC-B50,A50,故f极大2x2.已知f(x)e ，将f(x)在x1处展开成幂级数（8分）。

22223.计算1xydxdy，其中D是由圆周xy4及坐标轴所围成

D的在第一象限内的闭区域。（8分）

an

a4.已知 收敛，证明 收敛（4分）。

2n

n1n1

n

5. 求方程 5y6y5yxe 的通解（4分）。

6. f(x)x ，0x ，将f(x)展开成余弦级数（5分）。

x